Гомотопия — семейство непрерывных отображений F t : X → Y , t ∈ [ 0 , 1 ] , {displaystyle F_{t}colon X o Y,;tin [0,1],} «непрерывно зависящих от параметра». Более точное определение дано ниже.
Определение
Пусть X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} топологические пространства. Гомотопией называется непрерывное отображение F : [ 0 , 1 ] × X → Y {displaystyle Fcolon [0,1] imes X o Y} .
При этом значение F ( t , x ) {displaystyle F(t,x)} чаще обозначается F t ( x ) {displaystyle F_{t}(x)} .
Связанные определения
- Гомотопные отображения. Отображения f , g : X → Y {displaystyle f,gcolon X o Y} называются гомотопными или g ∼ f {displaystyle gsim f} , если существует гомотопия f t {displaystyle f_{t}} такая, что f 0 = f {displaystyle f_{0}=f} и f 1 = g {displaystyle f_{1}=g} .
- Гомотопическая эквивалентность топологических пространств X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} есть пара непрерывных отображений f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} и g : Y → X {displaystyle gcolon Y o X} такая, что f ∘ g ∼ id Y {displaystyle fcirc gsim operatorname {id} _{Y}} и g ∘ f ∼ id X {displaystyle gcirc fsim operatorname {id} _{X}} , здесь ∼ {displaystyle sim } обозначает гомотопность отображений.
- В этом случае говорят, что X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} гомотопически эквивалентны, или X {displaystyle X} с Y {displaystyle Y} имеют один гомотопический тип. Обычно это отношение записывается как X ∼ Y {displaystyle Xsim Y} .
- Гомотопический инвариант — это характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств. То есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.
- Отображение f : X → Y {displaystyle fcolon X o Y} называется слабой гомотопической эквивалентностью если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп.
- Подпространство A {displaystyle A} топологического пространства X {displaystyle X} такое, что включение A ⊂ X {displaystyle Asubset X} является слабой гомотопической эквивалентностью называется репрезентативным подпространством.
- Если на некотором подмножестве A ⊂ X , F ( t , a ) = f ( a ) {displaystyle Asubset X,;F(t,a)=f(a)} для всех t {displaystyle t} при a ∈ A {displaystyle ain A} , то F {displaystyle F} называется гомотопией относительно A {displaystyle A} , а f {displaystyle f} и g {displaystyle g} гомотопными относительно A {displaystyle A} .
- Изотопия — гомотопия топологического пространства X {displaystyle X} по топологическому пространству Y {displaystyle Y} f t : X → Y , t ∈ [ 0 , 1 ] {displaystyle f_{t}colon X o Y,;tin [0,1]} , в которой при любом t {displaystyle t} отображение f t {displaystyle f_{t}} является гомеоморфизмом X {displaystyle X} на f t ( X ) ⊂ Y {displaystyle f_{t}(X)subset Y} .
- Отображение, гомотопное постоянному, т.е. отображению в точку, называют стягиваемым или гомотопным нулю.
Свойства
- Гомотопия задаёт отношение эквивалентности между непрерывными отображениями X → Y {displaystyle X o Y}