В общей алгебре кольцо Куммера Z [ ζ ] {displaystyle mathbb {Z} [zeta ]} — это подкольцо кольца комплексных чисел, каждый элемент которого имеет вид
n 0 + n 1 ζ + n 2 ζ 2 + . . . + n m − 1 ζ m − 1 {displaystyle n_{0}+n_{1}zeta +n_{2}zeta ^{2}+…+n_{m-1}zeta ^{m-1} }
где ζ — mth корни из единицы, то есть
ζ = e 2 π i / m {displaystyle zeta =e^{2pi i/m} }
и все nk целые.
Кольцо Куммера является расширением Z {displaystyle mathbb {Z} } кольца целых, отсюда и обозначение Z [ ζ ] {displaystyle mathbb {Z} [zeta ]} . Поскольку минимальным многочленом для ζ является m-й круговой многочлен, кольцо Z [ ζ ] {displaystyle mathbb {Z} [zeta ]} является расширением степени ϕ ( m ) {displaystyle phi (m)} (здесь φ обозначает функцию Эйлера).
Попытка представить кольцо Куммера на диаграмме Арганда может дать нечто подобное гигантской карте эпохи возрождения с розами ветров и локсодромами.
Множество единиц кольца Куммера содержит { 1 , ζ , ζ 2 , … , ζ m − 1 } {displaystyle {1,zeta ,zeta ^{2},ldots ,zeta ^{m-1}}} . По теореме Дирихле о единицах существуют единицы бесконечного порядка, За исключением случаев m=1 и m=2 (в этих случаях мы имеем обычное кольцо целых), а также случая m=4 (гауссовы целые числа) и случаев m=3, m=6 (целые числа Эйзенштейна).
Кольца Куммера названы в честь Эрнста Куммера, который изучал единственность разложения их элементов.