Первичный идеал (алгебра)

Первичный идеал является обобщением понятия простого числа в кольце целых чисел на произвольные (некоммутативные) кольца.

Определение

Первичным идеалом полугруппы или кольца A {displaystyle A} называется всякий идеал P {displaystyle P} (не совпадающий с A), такой, что если два элемента a , b ∈ A {displaystyle a,bin A} таковы, что ∀ r ∈ A   a r b ∈ P {displaystyle forall rin A arbin P} , то либо a ∈ P {displaystyle ain P} , либо b ∈ P {displaystyle bin P} .

Следующие условия эквивалентны первичности идеала P ≠ R кольца R:

• Для любых a, b ∈ R, если (a)(b) ⊆ P, то a ∈ P or b ∈ P.
• Для любых правых идеалов A, B кольца R, если AB ⊆ P, то A ⊆ P or B ⊆ P.
• Для любых левых идеалов A, B кольца R, если AB ⊆ P, то A ⊆ P or B ⊆ P.
• Для любых a, b ∈ R, если aRb ⊆ P, то a ∈ P or b ∈ P.

Понятие первичного идеала кольца является обобщением понятия простого идеала кольца. В случае коммутативных колец оба понятия совпадают.